1921. február 27-én született Erdélyben, a Déva melletti Szászvároson  (Orăştie, Románia). Középiskolai tanulmányait Kolozsvárott végezte, majd 1939-ben Budapestre jött, ahol a Tudományegyetem Eötvös Kollégiumában magyar-francia szakra iratkozott be, s ezzel párhuzamosan a Liszt Ferenc Zeneakadémián Kodály Zoltán, majd Viski János zeneszerzés-osztályában tanult. Doktori disszertációja 1943-ban könyvként is megjelent Kodály művészete címmel.
A háború után Szőllősy egy tanéven keresztül Goffredo  Petrassi mesteriskoláját látogatta Rómában. 1950-ben hívták meg tanárnak a Zeneakadémiára, ahol közel négy évtizeden keresztül tanított zenetörténetet és partitúraolvasást. Tudományos publikációinak sorában tisztán rajzolódik ki a kettős cél: Kodály és Bartók műveinek jegyzékbe foglalása és írásaik közreadása. Szőllősy Bartók-jegyzéke különösen sikeres volt, számozását „Sz” betű jelzéssel ma is világszerte használják.
Műveinek nemzetközi sikersorozatát a III. Concerto indította el, mely 1970-ben első helyezést nyert a rádiótársaságok nemzetközi Tribünjén Párizsban. A Concertóban megkezdett úton haladva jutott el Szőllősy András nagyszabású, egymást kiegészítő zenekari műveihez: a Trasfigurazionihoz és a Musica per orchestrához. Vokális műveinek sorozatát a King’Singers megrendelései ösztönözték.